貝特朗曾經(jīng)在1899年提出了一個(gè)悖論就是，假設(shè)一個(gè)內(nèi)接圓的等邊三角形中，任意選擇一條弦，那么這條弦長(zhǎng)于等邊三角形邊長(zhǎng)的幾率有多大?但結(jié)果卻并不是唯一的，分別利用三種方法解答出了二分之一、三分之一和四分之一，可以說(shuō)它們都完全正確但相互矛盾，因此就形成了一個(gè)悖論。

貝特朗悖論正確答案

貝特朗悖論中并沒(méi)有規(guī)定弦的位置、方向等，所以一共可以分為三種情況進(jìn)行解答，第一種解法是先預(yù)設(shè)弦的方向，可以做出垂直于這條弦的直徑，而計(jì)算出只有交于直徑的四分之一和四分之三處的弦才是等于邊長(zhǎng)的，因此計(jì)算出概率為二分之一。而第二種方法則是預(yù)設(shè)了弦的一端，只有當(dāng)弦與這個(gè)端點(diǎn)的切線交角為60-120度的時(shí)候才能等邊，而概率就是三分之一。

當(dāng)然還有第三種解法，也是目前課本中最常用的解法，主要是根據(jù)弦的中點(diǎn)來(lái)看，只有弦的中心點(diǎn)能夠落在比本圓半徑小一半的同心圓上就能等長(zhǎng)，因此這時(shí)的概率則只有四分之一。所以三種結(jié)果都不相同，但幾乎都沒(méi)有計(jì)算錯(cuò)誤，其實(shí)也都是因?yàn)樗那疤崾遣煌?，在出題的時(shí)候，其中“等可能”的詞匯會(huì)產(chǎn)生誤導(dǎo)，這其實(shí)和芝諾悖論有得一拼。

貝特朗悖論的類(lèi)似解釋

其實(shí)這一悖論就是最初貝特朗用來(lái)反思幾何學(xué)運(yùn)算概率學(xué)到底是否合適的，其實(shí)這一悖論還有另外的一種版本。假設(shè)有1、2、3號(hào)箱子，其中1號(hào)有2根金條，2號(hào)有兩根銀條，3號(hào)有1根金條1根銀條，打開(kāi)一個(gè)隔間是金條，而打開(kāi)另一個(gè)隔間也是金條的概率有多少?相信一般人都會(huì)認(rèn)為是二分之一。

但實(shí)際上正確答案卻是三分之二，因?yàn)槲覀兛梢钥吹?號(hào)箱子中只有銀條，所以可以立即將它排除掉，而只剩下另外的1號(hào)和3號(hào)是有可能的，所以總的來(lái)說(shuō)應(yīng)該是三個(gè)箱子中有兩個(gè)是可能的，所以這也是貝特朗悖論中最為簡(jiǎn)單的一個(gè)理解方式。